,~3+ 2с,"3, соот79

ВЕТСТВУЮЩАЯ ЭФФЕКТИВНОЙ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТЕЛЕ БОЛЬШОГО ОБЪЕМА V —> <*>, КОГДА ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ НАЛИЧИЕМ ПОВЕРХНОСТИ, НЕСУЩЕСТВЕННЫ. КОРРЕКТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ВЕЛИЧИНЫ С2-1, НАЙДЕННОЕ В [279—281] С УЧЕТОМ ТОЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ? [БИ( А - fi)DIVU + B(3,UT + 3TU,) = 0, (А + В)"2 = с.

Вш = С„ ИМЕЕТ ВИД

(3.1С

2cf-3cfcf+3cf cfcf[cf-cf)

В ЭТОМ ВЫРАЖЕНИИ УЧТЕН ЭФФЕКТ ВЗАИМОПЕРЕМЕШИВАНИЯ МОД, ОБУСЛОВЛЕННЫЙ КОНЕЧНЫМИ РАЗМЕРАМИ ЧАСТИЦЫ [282]. ПРАВИЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ВЕЛИЧИНЫ CF1 ДО СИХ ПОР НЕИЗВЕСТНО.

ПОДОБНОЕ (3.9), НО БОЛЕЕ ТОЧНОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАЙДЕНО В [283]. ОБЩЕЕ ЧИСЛО НОРМАЛЬНЫХ МОД ДЛЯ ЧАСТИЦЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ N АТОМОВ, РАВНО ГДЕ Е(Ю, Т) = (fiffi/2)CTH(FIA>/2ЈB7) — СРЕДНЯЯ ЭНЕРГИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА. СОГЛАСНО [278], ПРИ Т -> 0 ТЕПЛОЕМКОСТЬ МАЛОЙ ЧАСТИЦЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ COMIN = 0 МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ

Cv(r) = (4КВУТ3ТА„/7С2СЗ)(^Г/ЙА)ТАХ)3/4 +

+ (^Ю2Т^2ТЕ2)(/:ВТ/ЙТТИ)2/З+ (*BLROMK/8TK-J(feBR/»MRAX)/2> (3.14)

ГДЕ Im = (4Т!/2Т+|) JT ЛГ™ = (4Т!/2Т+| )?(Т); ?(Т) — ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ

N=1

(3.15)

РИМАНА (/4 = 7U730; /3 = 1,8031; /2 = Л2/6). ЕСЛИ ПРИНЯТЬ, ЧТО СОТЮ= (187T2/VC3/I/)1/3, Т. Е. СОВПАДАЕТ С МАКСИМАЛЬНОЙ ЧАСТОТОЙ МАССИВНОГО КРИСТАЛЛА, ТО В (3.14) ПЕРВЫЙ ЧЛЕН ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ДЕБАЕВСКИЙ ВКЛАД В ТЕПЛОЕМКОСТЬ (12FLW/:B/5)(T/9D)3, ГДЕ 9D = = FTG)M„/ЈB— ТЕМПЕРАТУРА ДЕБАЯ МАССИВНОГО КРИСТАЛЛА. ВЫРАЖЕНИЕ (3.14) МОЖНО ЗАПИСАТЬ ТАК:

C,.(R) = a3VP + a^ST2 + a^LT,

1/3

ОТКУДА С УЧЕТОМ (3.10)

(18Л2 Nc,

1V

(18ТС

ЗЛ/= Jg(a)d(o,

2Г \2/3

144ТСС2Л,1/31, V

•Д(лг2'3)

(3.1П

(3.1*

W «I,2.З— ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ. ИЗ (3.14) И (3.15) СЛЕДУЕТ, ЧТО В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ЧАСТИЦ В ТЕПЛОЕМКОСТИ ПРИСУТСТВУЕТ ВКЛАД, ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ИХ БОЛЬШОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ, И ПОЭТОМУ МОЖНО ОЖИДАТЬ УВЕЛИЧЕНИЯ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ И СООТВЕТСТВЕННО УМЕНЬШЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ДЕБАЯ.

ВЫПОЛНЕННЫЙ В [278, 283] АНАЛИЗ РАЗМЕРНЫХ ЭФФЕКТОВ ФОНОННОГО СПЕКТРА ОСНОВАН НА КОНТИНУАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ. КВАНТОВЫЙ ПОДХОД [284—286] К ВЫЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ?(СО) МАЛОЙ ЧАСТИЦЫ РАДИУСОМ Г, СОДЕРЖАЩЕЙ N АТОМОВ, БАЗИРУЕТСЯ НА ВЫРАЖЕНИИ

с J

(3.13

ГДЕ Д(Л/"2'3) — ПОПРАВОЧНЫЕ ЧЛЕНЫ ПОРЯДКА Л7"2'1. ПОСКОЛЬКУ (0 = = 2TCV, ТО ПРИ ff>min= 0 ВЫРАЖЕНИЕ (3.12) ПОЛНОСТЬЮ СОВПАДАЕТ С АНАЛОГИЧНЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ ДЛЯ СОТАХ, ПОЛУЧЕННЫМ В [278]. С УЧЕТОМ ГРАНИЦ ФОНОННОГО СПЕКТРА ТЕПЛОЕМКОСТЬ МАЛОЙ ЧАСТИЦЬГ МОЖНО НАЙТИ КАК

ЭЕ(СО,Г) дТ

(3.16)

Ј(M) = Ј5((D-(B,FJ)

ЗДЕСЬ 5 — ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНТЕРВАЛ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ РАЗРЕШЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ; СО,_, = kh с, = c,a',Jr, ки — ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР; CI —• СКОРОСТЬ ПОПЕРЕЧНЫХ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ; a',s — .V-Й НУЛЬ ПРОИЗВОДНОЙ ОТ СФЕРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПОРЯДКА I; ВЫРОЖДЕНИЕ ktJ (ИЛИ а'и) РАВНО {21 + 1).

80

81

(3.17)

СОГЛАСНО [284], ДЛЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ РАДИУСОМ г, СОДЕЦ ЖАЩЕЙ N АТОМОВ, В ПРЕДЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ БОЛЬШИХ ВОЛНОВЫХ ВЕКТА РОВ ОБЩЕЕ ЧИСЛО МОД РАВНО

N = (2/9ТГ)Г3?„3+ (1/4)Л„2 + (2/371),*,,,

ГДЕ к„ — ГРАНИЧНЫЙ ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР, СООТВЕТСТВУЮЩИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ ЧАСТОТЕ КОЛЕБАНИЙ ЮТМ МАЛОЙ ЧАСТИЦЫ. СЛАГАЕМЫЕ В ПРАВОЙ ЧАСТИ (3.17) УЧИТЫВАЮТ ОБЪЕМНЫЙ, ПОВЕРХНОСТНЫЙ И ЛИНЕЙНЫЙ ВКЛАДЫ.

МОЛЯРНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ КОНЕЧНОГО КРИСТАЛЛА РАДИУСОМ ,ИМЕЕТ ВИД Ц

I

4 1

EXPL,

(3.18!,

?I

СОГЛАСНО ТОЧНОМУ РЕШЕНИЮ [284], СУММА ВТОРОГО И

ТРЕТЬЕГО ЧЛЕНОВ В (3.19), Т. Е. V^D 779D

ПРИРОСТ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ

Е*Р?

(3.21)

ТЕПЛОЕМКОСТИ МАЛОЙ ЧАСТИЦЫ с УЧЕТОМ КВАНТОВЫХ РАЗМЕРНЫХ ЭФФЕКТОВ, ИМЕЕТ ВИД

АС = С?г)-С=чт^Щ^

4WJ (EXPTJ-1)'

" БЙСТ2

ГДЕ ЧАСТОТЫ ШУС УЧЕТОМ УРАВНЕНИЯ (3.17) ЗАВИСЯТ ОТ РАЗМЕРА ЧАСТИЦЫ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ (3.18) С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА ДЛЯ ОБЛАСТИ ТЕМПЕРАТУР ЙЮТ]ДВ « Г< 6D= FTCIWAAПРИВОДИТ К ВЫРАЖЕНИЮ [284, 285]

(3.19)

4%h2c2r

ГДЕ VM— МОЛЯРНЫЙ ОБЪЕМ; ?(3) = 1,20206. ПРИ /•-»«> ВТОРОЙ И

ТРЕТИЙ ЧЛЕНЫ В (3.19) ОБРАЩАЮТСЯ В НУЛЬ, А ПЕРВЫЙ ЧЛЕН ПРЕД;

СТАВЛЯЕТ СОБОЙ ВЫРАЖЕНИЕ ДЕБАЯ ДЛЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ: ЩА

ЗДЕСЬ ^ = Ьса')JkBrT; СУММИРОВАНИЕ ВЕДЕТСЯ ПО ВСЕМ s И / ВПЛОТЬ

'ТА,

ДО /„,„, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО ИЗ УСЛОВИЯ ^(2/-1)< N. ИЗ ВЫРАЖЕНИЙ

1=0

(3.19) И (3.21) ТАК ЖЕ, КАК ИЗ ФОРМУЛ (3.14) ИЛИ (3.15), СЛЕДУЕТ, ЧТО ПРИ ЙЮ„,|ДВ « Т < 9D ТЕПЛОЕМКОСТЬ МАЛОЙ ЧАСТИЦЫ С,.(Г) БОЛЬШЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ С,, МАССИВНОГО КРИСТАЛЛА И С УВЕЛИЧЕНИЕМ РАЗМЕРА ЧАСТИЦЫ Г —> °° РАЗНОСТЬ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ АС = С>(г) --С,.-»0.

(3.22)

В ОБЛАСТИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР (Г —» 0) ТЕПЛОЕМКОСТЬ (3.18) АСИМПТОТИЧЕСКИ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ [285] ТАК:

С,(Г) - ЗЛ'А^В(ЙСОТ|ДВГ)2ЕХР(-ЙА)Т|JkBT).

С,= 9R(T/QDy J

= 9R(T/QD)3D(x). (3.20)

{ (ЕХРЛ-1)

ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ Г» 9DВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В (3.20) 1 » ВГ/Г -> 0, ИНТЕГРАЛ D{x) -» ^(ВГ/Г)3 И ТЕПЛОЕМКОСТЬ С,—> 3R, Т. Е. СТРЕМИТСЯ К ПРЕДЕЛЬНОМУ ЗНАЧЕНИЮ, ОПРЕДЕЛЯЕМОМУ ЗАКОНОМ ДЮЛОНГА—ПТИ.

82

ПРИ Т —> 0 ТЕПЛОЕМКОСТЬ С,.(Г) (3.22) УБЫВАЕТ БЫСТРЕЕ, ЧЕМ ДЕ-БАЕВСКАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ С,.(3.20), ПОЭТОМУ, СОГЛАСНО [285], В ОБЛАСТИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР АС = С>.('') - С,.< 0. ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ НЕКОТОРАЯ ТЕМПЕРАТУРА Тв, НИЖЕ КОТОРОЙ АС < 0, А ПРИ ^> Т0ЭТА РАЗНО